动量定理

更新时间:2022-08-14

动量定理是动力学的普遍定理之一,内容为物体动量的增量等于它所受合外力的冲量即Ft=Δvm,或所有外力的冲量的矢量和。如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零,那么这个系统的总动量保持不变,这个结论叫做动量守恒定律。动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一,它既适用于宏观物体,也适用于微观粒子;既适用于低速运动物体,也适用于高速运动物体,它是一个实验规律,也可用牛顿第二定律和运动学公式推导出来。动量定理不但适用于恒力,也可以随时间而变化的变力,对于变力的情况,动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。

基本信息

中文名动量定理
外文名theorem of momentum
适用领域经典力学
表达式Ft=mv'-mv=p'-p=I
学科范畴4022826296185172979

定义

动量定理是动力学的普遍定理之一。内容为物体动量的增量等于它所受合外力的冲量即Ft=Δmv,也可用牛顿第三定律和动量定理推导出来。

实用理解

如以m表示物体的质量,v1、v2 表示物体的初速度、末速度,I表示物体所受的冲量,则得mv2-mv1=I。式中三量都为矢量,应按矢量运算;只在三量同向或反向时,可按代数量运算,同向为正,反向为负,动量定理可由牛顿第二定律推出,但其适用范围既包含宏观、低速物体,也适用于微观、高速物体。

推导

将 F=ma ....牛顿第二运动定律

代入v = v0 + at

得v = v0 + Ft/m

化简得vm - v0m = Ft

把vm做为描述运动状态的量,叫动量。

含义

(1)内容:物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。表达式:Ft=mv′-mv=p′-p,或Ft=△p 由此看出冲量是力在时间上的积累效应。动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力,也可以是变力。当合外力为变力时,F是合外力对作用时间的平均值。p为物体初动量,p′为物体末动量,t为合外力的作用时间。

(2)F△t=m△v是矢量式。在应用动量定理时,应该遵循矢量运算的平行四边表法则,也可以采用正交分解法,把矢量运算转化为标量运算。假设用Fx(或Fy)表示合外力在x(或y)轴上的分量。(或)和vx(或vy)表示物体的初速度和末速度在x(或y)轴上的分量,则

Fx△t=MVX-mvx0

Fy△t=mvy-mvy0

上述两式表明,合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量。在写动量定理的分量方程式时,对于已知量,凡是与坐标轴正方向同向者取正值,凡是与坐标轴正方向反向者取负值;对于未知量,一般先假设为正方向,若计算结果为正值。说明 实际方向与坐标轴正方向一致,若计算结果为负值,说明实际方向与坐标轴正方向相反。

特殊

对于弹性一维碰撞,我们有1/2mv^2=1/2mv1^2+1/2Mv2^2

mv=mv1+Mv2

可以解出v1和v2

相关区别

动能定理的区别

动量定理

Ft=mv2-mv1反映了力对时间的累积效应(冲量),其增量是力在时间上的积分。

动能定理

Fs=1/2mv^2-1/2mv0^2反映了力对空间的累积效应(功),其增量是力在空间上的积分。

适用条件

(1)系统不受外力或系统所受的外力的合力为零。

(2)系统所受外力的合力虽不为零,但比系统内力小得多。

(3)系统所受外力的合力虽不为零,但在某个方向上的分量为零,则在该方向上系统的总动量保持不变——分动量守恒。

注意

(1)区分内力和外力 碰撞时两个物体之间一定有相互作用力,由于这两个物体是属于同一个系统的,它们之间的力叫做内力;系统以外的物体施加的,叫做外力。

(2)在总动量一定的情况下,每个物体的动量可以发生很大变化 例如:静止的两辆小车用细线相连,中间有一个压缩的弹簧。烧断细线后,由于弹力的作用,两辆小车分别向左右运动,它们都获得了动量,但动量的矢量和为零。

数学表述形式

(1)p=p′. 即系统相互作用开始时的总动量等于相互作用结束时(或某一中间状态时)的总动量;

(2)Δp=0. 即系统的总动量的变化为零。若所研究的系统由两个物体组成,则可表述为: m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(等式两边均为矢量和);

(3)Δp1=-Δp2. 即若系统由两个物体组成,则两个物体的动量变化大小相等,方向相反,此处要注意动量变化的矢量性。在两物体相互作用的过程中,也可能两物体的动量都增大,也可能都减小,但其矢量和不变.

分类

它给出质点系的动量和质点系所受机械作用的冲量之间的关系。动量定理有微分形式和积分形式两种。

微分形式的动量定理

若质点系的总质量为Μ,质心速度为vC,则它的总动量为=ΜvC。上式二边对时间求导数,并利用质心运动定理得:

(1)式中为作用在质点系上所有外力的矢量和。式(1)就是用微分形式表示的动量定理,它表明:质点系的总动量对时间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。可以看出,质点系总动量的变化仅与外力有关,并不受质点系中各质点相互作用的内力的影响。

积分形式的动量定理

积分式(1),并用p1和p2分别表示质点系在时间t1和t2的总动量,则有:

式中为时间间隔t2-t1内作用于第i个质点上的外力的冲量。上式是用积分形式表示的动量定理,它表明:在某力学过程的时间间隔内,质点系总动量的改变,等于在同一时间间隔内作用于质点系所有外力的冲量的矢量和。

由于动量定理和质心运动定理是可以相互推导的,所以这两定理在本质上是一致的。在研究刚体或刚体系统的运动时,由于质心坐标容易确定,用质心运动定理比较方便;但在研究流体运动时,由于质心的坐标难以确定,用动量定理比较适宜。质点是质点系的一个特殊情况,故动量定理也适用于一个质点。


Powered by prower